وبلاگ دانشجویان ریاضی پیام نور مرودشت

معرفی گرایشها و زیر شاخه های ریاضیات کاربردی و محض

الف) ریاضیات کاربردی

 

 

۱-آنالیزعددی(Numerial Analysis)

محاسبات عددی یا آنالیز عددی به تنظیم ،مطالعه ،واعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (درمقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازدکه باروش‌های تحلیلی ودقیق قابل حلّ نیستند. برخی ازمسائل مورد نظر محاسبات عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید.

 جبرخطی عددی (برروی میدان‌های حقیقی یا مختلط) ونیزحلّ معادلات دیفرانسیل خطّی وغیر خطّی مربوط به فیزیک و مهندسی ازجملهٔ زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی‌ ست.

 

2- تحقیق درعملیات (Operations Research به اختصار  OR  )

شاخه‌ای میان ‌رشته‌ای از ریاضیات است که برای یافتن نقطه بهینه درمسائل بهینه‌سازی،ازگرایش‌هایی مانندبرنامه‌ریزی ریاضی،آمارو طراحی الگوریتم‌هااستفاده می‌کند. یافتن نقطه بهینه براساس نوع مسئله مفاهیم مختلف دارد و درتصمیم سازی ها استفاده می‌شود.

 مسائل تحقیق درعملیات بربیشینه‌ سازی (ماکزیمم‌سازی) -مانندسود،سرعت خط تولید، تولید زراعی بیشتر ،پهنای باندبیشتروغیره- یاکمینه‌سازی (می‌نیمم‌سازی) -مانند هزینه کمتر وکاهش ریسک وغیره، بااستفاده ازیک یاچندقید تمرکزدارند.

ایدهٔ اصلی تحقیق درعملیات یافتن بهترین پاسخ برای مسائل پیچیده‌ای است که با زبان ریاضی مدل‌سازی شده‌اند که باعث بهبود یابهینه‌سازی عملکرد یکس اما نه می‌شوند.

 

 

 

۳-نظریه گراف و ترکیبیات(Graph Theory and Combinatorics)

نظريه گراف ضمن اينكه يكي ازبخشهاي باقدمت دانش رياضي محسوب ميگردد،يكي ازپر كاربردترين شاخه هاي رياضي درساير علوم نيزمي باشد. كاربردهاي آن دربيولوژي،شيمي، فناوري نانو ،تحقيق درعمليات وعلوم مهندسي بسيار فراوان مي باشد. لازم به ذکر است که این گرایش دراغلب کشورهای خارجی زیر مجموعه ریاضی محض محسوب می شود.

 

4-متروید(Matroid)

مترویدها اولین بار توسط ویتنی درسال 1935 درتلاش برای فراهم آوردن یک رفتار مجرد یکسان از وابستگی درجبرخطی ونظریه گراف معرفی شدند. نام مترویدساختاری مربوط به یک ماتریس را القا

می­کند. تعریف ویتنی تنوع شگفت­انگیز از ساختارهای ترکیبیاتی را در برداشت. ازاین گذشته مترویدها

 به طور طبیعی دربهینه­سازی ترکیبیاتی پدیدار می­شوند، زیرا آنهادقیقا همان ساختارهای ترکیبیاتی هستندکه الگوریتم حریصانه برای آن به نتیجه می­رسد.

رشته مترويد درایران،اولين باردرسال 1383 دردانشگاه اروميه ارائه شد.

 

 

5- معادلات ديفرانسيل  (Differential Equations)

نظريه معادلات ديفرانسيل يك بخش بنيادي ازدانش رياضي بوده و ضمن داشتن قدمت كاربردهاي

بي شماري در فيزيك ومهندسي وپزشكي دارو به يقين ميتوان گفت يكي ازپايه هاي اصلي اين علوم معادلات ديفرانسيل است. برگزاري كنفرانس ها و صرف بودجه هاي هنگفت پژوهشي خود دليل نقش كليدي وكاربردي اين رشته در پيشرفت علمي وتكنولوژي مي باشد.

 

 

 6-نظریه رمز و کریپتوگرافی(Cryptography)

دانشی است که به بررسی وشناختِ اصول و روش‌های انتقال یا ذخیرهٔ اطلاعات به صورت امن (حتی اگرمسیر انتقال اطلاعات وکانال‌های ارتباطی یامحل ذخیره اطلاعات ناامن باشند) می‌پردازد.

متخصص دراین رشته بسیارکم است .

 

 

7- ریاضیات مالی(Financial Mathematics)

ریاضیات مالی شیرین وجذاب است چون تکنیک‌ها وشاخه‌های محض ریاضیات، نظریه اندازه احتمال راباکاربرد‌های تجربی که روی زندگی روزانه مردم تأثیرداردترکیب می‌کند. ریاضیات مالی مهیج است چون بابکاربردن ریاضیات پیشرفته ،نظریه‌های اساسی وبنیادی اقتصاد ومالی را ترقی می‌دهد.

 برای درک کردن تأثیر اینکار،  لازم است بدانیم بسیاری ازنظریه مالی مدرن،ازجمله جایزه نوبل،براساس فرض‌های تحمیل شده هستند،نه به این خاطرکه آن‌ها پدیده‌های مشاهده شده رامنعکس می‌کنندبلکه به این خاطر که بصورت ریاضی درآورده ‌شده‌اند. همانطورکه فیزیک انگیزه ریاضیات جدیدشده است،ریاضیات مالی ریاضیات جدیدرا به سمت مدل کردن مشاهدات اقتصادی پیش می‌برد.

تحقیق وتدریس دراین رشته درایران کم می‌ باشد. اما مطمئنا درآینده جز رشته‌های پرطرفدار محسوب خواهد گردید.

 

 

8- ریاضیات صنعتی(Industrial Mathematics)

همان گونه که ازنام این رشته پیداست کاربرد ریاضی درعلوم فنی بررسی می شود. درایران مقطع دکتری این رشته وحودندارد امادوره کارشناسی ارشد این گرایش برگزار می شود.

 

 

9-بهینه سازی(Mathematical Optimization)

شاخه‌ای ازریاضیات است که درآن سعی می‌شودکه ماکزیمم ومینیمم یک

‏سیستم معادلات رابا توجه به یک سری الزامات،به دست آورد‎.‎

 

 

10-منطق فازی (Fuzzy logic)

اولین بار درپی تنظیم نظریهٔ مجموعه‌های فازی به وسیلهٔ پروفسور لطفی زاده (۱۹۶۵م) درصحنهٔ محاسبات نو ظاهر شد.

دانش مورد نیاز برای بسیاری ازمسائل مورد مطالعه به دوصورت متمایز ظاهرمی‌شود:

۱. دانش عینی مثل مدل‌ها، ومعادلات، وفورمول‌های ریاضی که از پیش تنظیم شده وبرای حل وفصل مسائل معمولی فیزیک، شیمی، یامهندسی مورداستفاده قرارمی‌گیرد.

۲.  دانش شخصی مثل دانستنی‌هایی که تاحدودی قابل توصیف وبیان زبان‌شناختی بوده،ولی، امکان کمی کردن آن‌هاباکمک ریاضیات سنتی معمولاً وجود ندارد.

 

ازآنجاکه درعمل هر دونوع دانش موردنیازاست منطق فازی می‌کوشدآن‌هارابه صورتی منظم،منطقی،وریاضیاتی بایکدیگرهماهنگ گرداند.

 

 

 

11- سيستم هاي ديناميكي (Dynamical System)

 

گرایش سیستمهای دینامیکی یکی ازگرایشهای ریاضیات محض وکاربردی است.

 درگرایش کاربردی، هدف آن مطالعه وبررسی سیستمهایی است که باگذرزمان تغییرمی کنند البته هم سیستم های زمان گسسته وهمزمان پیوسته. نظريه سيستمهاي ديناميكي وكنترل به بررسي رفتار كيفي پديده هاي طبيعي ومصنوعي وكنترل آن مي پردازد. اين پديده ها درحوزه وسيعي ازبيولوژي وافتصادگرفته تاتكنولوژي فضايي گسترده شده اند. ابزار رياضي مورد استفاده نيز طيف وسيعي ازدانش رياضي را دربر مي گيرد.

 

 

ب) ریاضیات محض:

 

1-      جبر(Algebra)

جبر مجرّد شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه،حلقه،ومیدان می‌پردازد. آغازتعریف رسمی اینگونه ساختارهابه قرن نوزدهم (م) بازمی‌گردد.

اصطلاح «جبرمجرّد»دربرابر «جبرمقدّماتی »ا «جبردبیرستانی»به‌کارمی‌رود. درحدودنیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبرمدرن»می‌نامیدند.

جبرمجردمقدماتی،اشیاءواعمال ریاضی را،فارغ ازماهیت آن هابررسی می‌کند. اعداد،توابع،

ماتریس ها،ازعناصرآن واعمال دوتایی ضرب،ترکیب توابع و ... ازاعمال آن به شمارمی‌آیند.

 

دسته بندی گروهها وحلقه‌ها،مدول هاازموضوعات اساسی این شاخه به حساب می‌آیند.

برخی شاخه‌های هندسی باجبر مجرد ارتباط پیدا می‌کنند.

  

جبرمقدماتی به همراه جبرمجرد وجبرخطی سه شاخهٔ اصلی دستگاه جبرراتشکیل می‌دهند. ازدروس اختصاصي اين رشته جبر3، جبرحلقه‌ها،جبرجابجایی،جبرهمولوژی،جبرناجابجايي،نظریه نمایش و ... است. تحقيقات مربوط به اين رشته کاربردهاي جالب توجهي در زمينه هاي پزشکي،شيمي اتم وکيهان شناسي دارد.

 

این رشته دارای چندین زیر‌شاخه مهم به شرح زیر است:

 

جبرجابجایی

 

جبرناجابجایی

 

نظریه گروه ها

 

نظریه حلقه ها ومدول ها

 

جبرترکیبیاتی

 

هندسه جبری

 

مقطع کارشناسی ارشد این رشته دراکثر دانشگاه‌های کشورکه دانشجوی ارشدریاضی دارند تدریس می‌شود.

 

 

2-      آنالیزریاضی(Mathematical Analysis)

آنالیزنام عمومی آن بخش‌هائی ازریاضیات است که بامفاهیم حدوهمگرایی مربوط‌اند

ودرآن‌هاموضوعاتی مثل پیوستگی وانتگرال‌گیری ومشتق‌پذیری وتوابع غیرجبری بررسی می‌شود. این موضوعات رامعمولاًدرعرصه اعدادحقیقی یا اعداد مختلط وتوابع مربوط به آن‌ها بحث می‌کنندولی می‌توان آن هارادرهرفضائی ازموجودات ریاضی که درآن مفهوم "نزدیکی" (فضای توپولوژیک) یا "فاصله" (فضای متریک) وجودداردبه‌کاربرد. آنالیز ریاضی ازکوشش‌های مربوط به دقیق کردن مبانی وتعریف‌های حسابان سربرآورده است.

انالیز ریاضی درواقع به نقاط استثنایی ریاضیات می‌پردازد . کلمه آنالیز به همین معنی [: نقاط استثنایی] است

ازدروس اختصاصي اين رشته درمقطع کارشناسي ارشدآناليزتابعي،آناليزهارمونيک،آناليزحقيقي و... است. این رشته دارای چندین زیر‌شاخه به شرح زیراست:

 

آنالیزحقیقی

آنالیزمختلط

آنالیزعددی

آنالیزتابعی

آنالیزهارمونیک

آنالیزغیر‌استاندارد

 

بیشترعنوان تز دانشجو مشخص کننده رشته تخصصی دانشجو است. عموماًنتايج تحقيقات اين رشته براي علوم مختلف قابل استفاده است. برخي دانشگاه‌هاهنگام انتخاب رشته دانشجويان رابه تفکيک گرايش انتخاب مي کنند. امابرخي ديگرمانندگرايش‌هاي مقطع کارشناسي دردوگرايش محض وکاربردي دانشجومي‌پذيرندومثلاًدانشجوي گرايش محض درهريک ازگرايش‌هاي جبر،آناليزو... مي‌تواندادامه تحصيل دهد.

مقطع کارشناسی ارشداین رشته دراکثردانشگاه‌های کشورکه دانشجوی ارشدریاضی دارندتدریس می‌شود.

 

 

3-  هندسه(Geometry)

 

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی واشکال وخصوصیات آن‌هااست. این دانش همراه باحساب یکی ازدوشاخه‌قدیمی ریاضیات است.

واژه هندسه عربی شده واژه " اندازه" درفارسی است. درزبان انگلیسی به آن geometry ودرزبان فرانسه به آن géométrie می‌گویندکه هردو از( γεωμετρίαگئومتریا) درزبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.

 

کلاسه ‌بندی هندسه

1-هنـدسه مقـدماتی به دوقسمت تقسیـم می‌گردد:

هنـدسه مسطحه

هندسه فضائی

درهندسه مسطح،اشکالی موردمطالعه قرارمی‌‌گیرندکه فقط دوبعددارند،هندسه فضایی،مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش ازهندسه درمورداشکال سه بعدی چون مکعب‌ها،استوانه ها،مخروط ها،کره‌هاوغیرهاست.

 

2-درهندسه مدرن شاخه‌های زیرموردمطالعه قرارمی‌گیرند:

هندسه تحلیلی

هندسه برداری

هندسه دیفرانسیل

هندسه جبری

هندسه محاسباتی

هندسه اعدادصحیح

هندسه اقلیدسی

هندسه نااقلیدسی

هندسه تصویری

هندسه ریمانی

هندسه ناجابجایی

هندسه هذلولوی

صاحب نظر ومتخصص دراین گرایش درایران کم می‌باشد.

 

4-توپولوژی(Topology)

توپولوژی شاخه‌ای ازریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی می‌پردازد.

 توپولوژی یکی ازشاخه‌های نسبتاًجوان ریاضیات است.

نام این رشته ازواژه‌های یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معناي شناخت گرفته شده است. بنابراين،توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.

فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهادنکرده است وهمان توپولوژی رادرنظرگرفته است.

توپولوژی یکی اززمینه‌های مهم ریاضیات است که ازپیشرفت مفاهیم هندسی وتئوری مجموعه‌هامانندفضا،بعد،اشکال،تبدیلات و... بوجودآمده‌است.

لغت توپولوژی هم به معنای زمینه‌ای درریاضیات است وهم برای خانواده‌ای ازمجموعه‌هاکه

دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک،که شی بنیادین توپولوژی است،استفاده می‌شود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی ترین وقدیمیترین زیرشاخه،توپولوژی نقطه-مجموعه‌است که بنیاد‌های توپولوژی برآن بناشده‌است وبه مطالعه درزمینه‌های فشردگی،پیوستگی واتصال می‌پردازد. یکیدیگراززیرشاخه‌های توپولوژی،توپولوژی جبری است که سعی درمحاسبه درجه اتصال دارد،

توپولوژی جبری درحقیقت بکار بردن روشهای جبری برای دریافت اطلاعات توپولوژیک است.  همچنین توپولوژی زیرشاخه‌هایی مانندتوپولوژی دیفرانسیل،توپولوژی گراف وتوپولوژی ابعادکم رانیزداراست.

 

5-منطق ریاضی(Mathematical Logic)

 

منطق ریاضی،شاخه‌ای ازریاضیات است که به ارتباط ریاضی ‌ومنطق می ‌پردازد وگاه به آن منطق صوری (منطق نمادی) می‌گویند. این نام راجوزپه پئانو ریاضی دان ایتالیائی بر این رشته علمی گذاشت .

 پیشترلایب نیتز و لامبرت کوشش‌هائی دراین خصوص کرده ‌بودند.

در اواخر قرن نوزدهم میلادی،باکارهای آگوستوس دی‌مورگان،جرج بول،گوتلوپ فرگه،برتراند راسل،داوید هیلبرت ودیگران این علم به پیشرفت قابل ملاحظه‌ای دستیافت . منطق امروزدر ریاضیات،شکل کامل تری ازمنطق درفلسفه است که اساس خودرابانظریهٔ مجموعه‌هابه اشتراک دارد.

این رشته درایران جایگاه مناسبی ندارد.

 

6-نظریه اعداد(Number Theory)

 

شاخه‌ای ازریاضیات محض است که درموردخواص اعداد صحیح بحث می‌کند.درنظریه مقدماتی اعداد،اعدادصحیح را بی استفاده ازروش‌های به‌کاررفته درسایرشاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. درنظریه تحلیلی اعداد ازحسابان وآنالیزمختلط برای بررسی سؤالاتی درمورداعدادصحیح استفاه می‌شود. درنظریه جبری اعداد،مفهوم عددبه اعدادجبری،که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هائی باضریب گویاهستند،گسترش می‌یابد. نظریه هندسی اعداد (که قبلابه آن هندسه اعدادمی‌گفتند) جنبه‌هایی ازهندسه رابه نظریه اعدادپیوندمی‌دهد. نظریه ترکیبیاتی اعدادبه مسائلی درنظریه اعدادمی‌پردازدکه باروش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. نظریه محاسباتی اعدادبه الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعدادمی‌پردازد.

متخصص دراین گرایش نیزدرایران کم می‌باشد.

 

7- سيستم هاي ديناميكي (Dynamical System)

گرایش سیستمهای دینامیکی یکی ازگرایش های ریاضیات محض وکاربردی است.

 

درگرایش محض،هندسه سیستم های دینامیکی بطور تحلیلی موردبحث قرارمی گیرند.ازجمله مباحث بسیار زیبای سیستم های دینامیکی می توان به نظریه آشوب وتحلیل تونل زمان اشاره کرد.

همچنینبهعنوانزیرشاخهایازتوپولوژیوهندسهمیتوانبهگروههایتوپولوژیکاشارهکردکهدروازهایبرایورودبهمباحثیچونآنالیزهارمونیکوگروهوجبرلیمیباشد.